Integral merupakan salah satu materi penting dalam matematika yang berkaitan dengan antiturunan. Integral juga dapat digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva. Secara umum, integral dibedakan menjadi integral tak tentu dan integral tentu.
Rumus dasar integral tak tentu adalah:
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, dengan n ≠ -1
Keterangan:
- C adalah konstanta integrasi.
- n merupakan pangkat dari x.
- Pangkat x ditambah 1, kemudian hasilnya dibagi dengan pangkat baru.
Soal Nomor 1
Pertanyaan
Tentukan hasil integral berikut:
∫ 3x² dx
Pilihan Jawaban
A. x³ + C
B. 3x³ + C
C. x² + C
D. 6x + C
E. 3x² + C
Jawaban Benar
A. x³ + C
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan integral pangkat:
∫ 3x² dx = 3 × x³/3 = x³ + C
Jadi, hasil integralnya adalah x³ + C.
Kompetensi yang Diukur
Memahami dan menerapkan aturan dasar integral pangkat.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan integral fungsi berpangkat sederhana.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 2
Pertanyaan
Tentukan hasil dari:
∫ 4x³ dx
Pilihan Jawaban
A. x⁴ + C
B. 4x⁴ + C
C. x³ + C
D. x⁴/4 + C
E. 12x² + C
Jawaban Benar
A. x⁴ + C
Pembahasan Lengkap
∫ 4x³ dx = 4 × x⁴/4 = x⁴ + C
Jadi, hasilnya adalah x⁴ + C.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan pangkat dalam integral.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengintegralkan fungsi polinomial sederhana.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 3
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ (2x + 5) dx
Pilihan Jawaban
A. x² + 5x + C
B. 2x² + 5x + C
C. x² + 5 + C
D. 2x + 5 + C
E. x² + 10x + C
Jawaban Benar
A. x² + 5x + C
Pembahasan Lengkap
Integralkan setiap suku:
∫ 2x dx = x²
∫ 5 dx = 5x
Jadi:
∫ (2x + 5) dx = x² + 5x + C
Kompetensi yang Diukur
Memahami integral dari penjumlahan fungsi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengintegralkan fungsi linear dengan benar.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 4
Pertanyaan
Tentukan hasil dari:
∫ (6x² – 4x + 3) dx
Pilihan Jawaban
A. 2x³ – 2x² + 3x + C
B. 6x³ – 4x² + 3x + C
C. 2x³ – 4x² + 3x + C
D. 3x³ – 2x² + 3x + C
E. 2x³ – 2x² + 9x + C
Jawaban Benar
A. 2x³ – 2x² + 3x + C
Pembahasan Lengkap
Integralkan setiap suku:
∫ 6x² dx = 2x³
∫ -4x dx = -2x²
∫ 3 dx = 3x
Jadi:
∫ (6x² – 4x + 3) dx = 2x³ – 2x² + 3x + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan integral pada fungsi polinomial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan antiturunan dari fungsi polinomial.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 5
Pertanyaan
Nilai integral berikut adalah:
∫ dari 0 sampai 2 (x + 1) dx
Pilihan Jawaban
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
Jawaban Benar
C. 4
Pembahasan Lengkap
Antiturunan dari x + 1 adalah:
x²/2 + x
Substitusikan batas atas 2 dan batas bawah 0:
(2²/2 + 2) – (0²/2 + 0)
= 2 + 2
= 4
Jadi, nilai integralnya adalah 4.
Kompetensi yang Diukur
Memahami konsep integral tentu.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menghitung nilai integral tentu menggunakan batas integrasi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 6
Pertanyaan
Tentukan nilai:
∫ dari 1 sampai 3 2x dx
Pilihan Jawaban
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
E. 14
Jawaban Benar
B. 8
Pembahasan Lengkap
Antiturunan dari 2x adalah x².
Maka:
[x²] dari 1 sampai 3
= 3² – 1²
= 9 – 1
= 8
Jadi, nilai integral tersebut adalah 8.
Kompetensi yang Diukur
Menghitung integral tentu dari fungsi linear.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan batas atas dan batas bawah dalam integral tentu.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 7
Pertanyaan
Jika F(x) adalah antiturunan dari f(x) = 6x, maka F(x) adalah …
Pilihan Jawaban
A. 3x² + C
B. 6x² + C
C. 3x + C
D. 6x + C
E. x² + C
Jawaban Benar
A. 3x² + C
Pembahasan Lengkap
Antiturunan dari 6x adalah:
∫ 6x dx = 6 × x²/2 = 3x²
Jadi:
F(x) = 3x² + C
Kompetensi yang Diukur
Memahami hubungan antara fungsi dan antiturunannya.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan fungsi antiturunan dari fungsi yang diberikan.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 8
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ (5x⁴ – 2x²) dx
Pilihan Jawaban
A. x⁵ – 2/3x³ + C
B. x⁵ – 2x³ + C
C. 5x⁵ – 2x³ + C
D. x⁵ – 2/3x² + C
E. 5x⁵ – 2/3x³ + C
Jawaban Benar
A. x⁵ – 2/3x³ + C
Pembahasan Lengkap
Integral masing-masing suku:
∫ 5x⁴ dx = x⁵
∫ -2x² dx = -2x³/3
Jadi:
∫ (5x⁴ – 2x²) dx = x⁵ – 2/3x³ + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan integral pangkat pada fungsi polinomial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengintegralkan beberapa suku berpangkat.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 9
Pertanyaan
Tentukan nilai:
∫ dari 0 sampai 1 (3x² + 2x) dx
Pilihan Jawaban
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Jawaban Benar
B. 2
Pembahasan Lengkap
Antiturunannya:
∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x²
Substitusikan batas 1 dan 0:
(1³ + 1²) – (0³ + 0²)
= 1 + 1
= 2
Jadi, nilai integralnya adalah 2.
Kompetensi yang Diukur
Menghitung integral tentu fungsi polinomial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan nilai integral dengan menggunakan batas integrasi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 10
Pertanyaan
Jika ∫ 4x³ dx = ax⁴ + C, nilai a adalah …
Pilihan Jawaban
A. 1/4
B. 1/2
C. 1
D. 2
E. 4
Jawaban Benar
C. 1
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan integral pangkat:
∫ 4x³ dx = 4 × x⁴/4 = x⁴ + C
Jadi, nilai a = 1.
Kompetensi yang Diukur
Memahami penerapan aturan integral pangkat.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan koefisien hasil integral.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 11
Pertanyaan
Tentukan hasil integral berikut:
∫ 7x⁶ dx
Pilihan Jawaban
A. x⁷ + C
B. 7x⁷ + C
C. x⁶ + C
D. 7x⁶ + C
E. x⁸ + C
Jawaban Benar
A. x⁷ + C
Pembahasan Lengkap
∫ 7x⁶ dx = 7 × x⁷/7 = x⁷ + C
Jadi, hasil integralnya adalah x⁷ + C.
Kompetensi yang Diukur
Memahami aturan dasar integral pangkat.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan integral fungsi berpangkat.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 12
Pertanyaan
Tentukan hasil dari:
∫ (3x² + 4x – 5) dx
Pilihan Jawaban
A. x³ + 2x² – 5x + C
B. 3x³ + 2x² – 5x + C
C. x³ + 4x² – 5x + C
D. x³ + 2x² – 5 + C
E. 3x³ + 4x² – 5x + C
Jawaban Benar
A. x³ + 2x² – 5x + C
Pembahasan Lengkap
Integralkan setiap suku:
∫ 3x² dx = x³
∫ 4x dx = 2x²
∫ -5 dx = -5x
Maka:
∫ (3x² + 4x – 5) dx = x³ + 2x² – 5x + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan integral pada fungsi polinomial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengintegralkan fungsi polinomial dengan beberapa suku.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 13
Pertanyaan
Nilai dari integral berikut adalah:
∫ dari 1 sampai 2 3x² dx
Pilihan Jawaban
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
Jawaban Benar
C. 7
Pembahasan Lengkap
Antiturunan dari 3x² adalah x³.
Maka:
[x³] dari 1 sampai 2
= 2³ – 1³
= 8 – 1
= 7
Jadi, nilai integralnya adalah 7.
Kompetensi yang Diukur
Memahami dan menghitung integral tentu.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan nilai integral tentu menggunakan batas integrasi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 14
Pertanyaan
Tentukan hasil integral:
∫ (8x³ – 6x) dx
Pilihan Jawaban
A. 2x⁴ – 3x² + C
B. 8x⁴ – 6x² + C
C. 2x⁴ – 6x² + C
D. 4x⁴ – 3x² + C
E. 2x³ – 3x² + C
Jawaban Benar
A. 2x⁴ – 3x² + C
Pembahasan Lengkap
∫ 8x³ dx = 2x⁴
∫ -6x dx = -3x²
Jadi:
∫ (8x³ – 6x) dx = 2x⁴ – 3x² + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan integral pangkat pada fungsi polinomial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan antiturunan fungsi polinomial.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 15
Pertanyaan
Nilai dari:
∫ dari 0 sampai 3 2x dx
adalah …
Pilihan Jawaban
A. 6
B. 8
C. 9
D. 10
E. 12
Jawaban Benar
C. 9
Pembahasan Lengkap
Antiturunan dari 2x adalah x².
Maka:
[x²] dari 0 sampai 3
= 3² – 0²
= 9
Jadi, hasilnya adalah 9.
Kompetensi yang Diukur
Menghitung integral tentu fungsi linear.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan batas integral untuk memperoleh nilai integral tentu.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 16
Pertanyaan
Jika F(x) = x³ – 2x² + 5x + C, maka fungsi f(x) yang merupakan turunan pertama F(x) adalah …
Pilihan Jawaban
A. 3x² – 4x + 5
B. 3x² – 2x + 5
C. x² – 4x + 5
D. 3x³ – 4x² + 5
E. x³ – 2x² + 5
Jawaban Benar
A. 3x² – 4x + 5
Pembahasan Lengkap
Turunkan setiap suku:
d/dx (x³) = 3x²
d/dx (-2x²) = -4x
d/dx (5x) = 5
Turunan C adalah 0.
Jadi:
f(x) = 3x² – 4x + 5.
Kompetensi yang Diukur
Memahami hubungan antara turunan dan integral.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan turunan pertama dari fungsi yang diberikan.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 17
Pertanyaan
Tentukan nilai:
∫ dari 0 sampai 2 (x² + 2x) dx
Pilihan Jawaban
A. 10/3
B. 4
C. 16/3
D. 20/3
E. 8
Jawaban Benar
D. 20/3
Pembahasan Lengkap
Antiturunannya:
∫ (x² + 2x) dx = x³/3 + x²
Substitusikan batas 2 dan 0:
(2³/3 + 2²) – (0³/3 + 0²)
= 8/3 + 4
= 8/3 + 12/3
= 20/3
Jadi, nilai integralnya adalah 20/3.
Kompetensi yang Diukur
Menghitung integral tentu fungsi polinomial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan nilai integral tentu dengan operasi pecahan.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 18
Pertanyaan
Hasil dari:
∫ 9x⁸ dx
adalah …
Pilihan Jawaban
A. x⁹ + C
B. 9x⁹ + C
C. x⁸ + C
D. 9x⁸ + C
E. x¹⁰ + C
Jawaban Benar
A. x⁹ + C
Pembahasan Lengkap
Gunakan aturan integral pangkat:
∫ 9x⁸ dx = 9 × x⁹/9
= x⁹ + C
Jadi, jawabannya adalah x⁹ + C.
Kompetensi yang Diukur
Memahami aturan integral pangkat.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan hasil integral fungsi berpangkat tinggi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 19
Pertanyaan
Tentukan nilai:
∫ dari 1 sampai 2 (4x + 3) dx
Pilihan Jawaban
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
E. 13
Jawaban Benar
A. 9
Pembahasan Lengkap
Antiturunan dari 4x + 3 adalah:
2x² + 3x
Substitusikan batas atas 2 dan batas bawah 1:
(2(2²) + 3(2)) – (2(1²) + 3(1))
= (8 + 6) – (2 + 3)
= 14 – 5
= 9
Jadi, nilai integralnya adalah 9.
Kompetensi yang Diukur
Menghitung integral tentu fungsi linear.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan nilai integral tentu dengan substitusi batas.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 20
Pertanyaan
Jika ∫ f(x) dx = 2x³ + 4x² – 7x + C, maka f(x) adalah …
Pilihan Jawaban
A. 6x² + 8x – 7
B. 2x² + 4x – 7
C. 6x³ + 8x² – 7
D. 6x² + 4x – 7
E. 2x³ + 4x² – 7x
Jawaban Benar
A. 6x² + 8x – 7
Pembahasan Lengkap
Untuk mendapatkan f(x), turunkan hasil integral:
d/dx (2x³) = 6x²
d/dx (4x²) = 8x
d/dx (-7x) = -7
Turunan C adalah 0.
Jadi:
f(x) = 6x² + 8x – 7.
Kompetensi yang Diukur
Memahami hubungan antara integral dan turunan.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan fungsi berdasarkan hasil integral yang diketahui.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 21
Pertanyaan
Tentukan hasil integral berikut:
∫ (5x⁴ – 8x² + 6) dx
Pilihan Jawaban
A. x⁵ – 8/3x³ + 6x + C
B. 5x⁵ – 8/3x³ + 6x + C
C. x⁵ – 4x³ + 6x + C
D. x⁵ – 8x³ + 6x + C
E. 5x⁵ – 4x³ + 6x + C
Jawaban Benar
A. x⁵ – 8/3x³ + 6x + C
Pembahasan Lengkap
Integralkan setiap suku:
∫ 5x⁴ dx = x⁵
∫ -8x² dx = -8/3x³
∫ 6 dx = 6x
Jadi:
∫ (5x⁴ – 8x² + 6) dx = x⁵ – 8/3x³ + 6x + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan integral pada fungsi polinomial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan antiturunan fungsi polinomial dengan beberapa suku.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 22
Pertanyaan
Nilai dari integral berikut adalah:
∫ dari 0 sampai 2 (3x² + 1) dx
Pilihan Jawaban
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
E. 12
Jawaban Benar
C. 10
Pembahasan Lengkap
Antiturunannya:
∫ (3x² + 1) dx = x³ + x
Substitusikan batas atas 2 dan batas bawah 0:
(2³ + 2) – (0³ + 0)
= 8 + 2
= 10
Jadi, nilai integralnya adalah 10.
Kompetensi yang Diukur
Menghitung integral tentu fungsi polinomial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan nilai integral tentu menggunakan batas integrasi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 23
Pertanyaan
Jika F(x) = 4x³ – 5x² + 2x + C, maka F'(x) adalah …
Pilihan Jawaban
A. 12x² – 10x + 2
B. 4x² – 5x + 2
C. 12x³ – 10x² + 2
D. 4x³ – 5x² + 2
E. 12x² – 5x + 2
Jawaban Benar
A. 12x² – 10x + 2
Pembahasan Lengkap
Turunkan setiap suku:
d/dx (4x³) = 12x²
d/dx (-5x²) = -10x
d/dx (2x) = 2
Turunan konstanta C adalah 0.
Jadi:
F'(x) = 12x² – 10x + 2.
Kompetensi yang Diukur
Memahami hubungan antara turunan dan integral.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan turunan pertama dari fungsi yang diberikan.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 24
Pertanyaan
Tentukan nilai:
∫ dari 1 sampai 3 2x dx
Pilihan Jawaban
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10
Jawaban Benar
C. 8
Pembahasan Lengkap
Antiturunan dari 2x adalah x².
Maka:
[x²] dari 1 sampai 3
= 3² – 1²
= 9 – 1
= 8
Jadi, hasilnya adalah 8.
Kompetensi yang Diukur
Menghitung integral tentu fungsi linear.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menggunakan batas atas dan batas bawah pada integral tentu.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Mudah.
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit.
Soal Nomor 25
Pertanyaan
Hasil dari:
∫ (10x⁴ + 6x) dx
adalah …
Pilihan Jawaban
A. 2x⁵ + 3x² + C
B. 10x⁵ + 6x² + C
C. 2x⁵ + 6x² + C
D. 5x⁵ + 3x² + C
E. 2x⁴ + 3x² + C
Jawaban Benar
A. 2x⁵ + 3x² + C
Pembahasan Lengkap
∫ 10x⁴ dx = 10x⁵/5 = 2x⁵
∫ 6x dx = 3x²
Jadi:
∫ (10x⁴ + 6x) dx = 2x⁵ + 3x² + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan integral pangkat.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu mengintegralkan fungsi polinomial dengan benar.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 26
Pertanyaan
Tentukan nilai:
∫ dari 0 sampai 1 (4x³ + 2x) dx
Pilihan Jawaban
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Jawaban Benar
B. 2
Pembahasan Lengkap
Antiturunannya:
∫ (4x³ + 2x) dx = x⁴ + x²
Substitusikan batas atas 1 dan batas bawah 0:
(1⁴ + 1²) – (0⁴ + 0²)
= 1 + 1
= 2
Jadi, nilai integralnya adalah 2.
Kompetensi yang Diukur
Menghitung integral tentu fungsi polinomial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan nilai integral tentu dengan substitusi batas.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 27
Pertanyaan
Jika ∫ f(x) dx = x⁴ – 3x² + 7x + C, maka f(x) adalah …
Pilihan Jawaban
A. 4x³ – 6x + 7
B. x³ – 3x + 7
C. 4x⁴ – 6x² + 7
D. 4x³ – 3x + 7
E. x⁴ – 3x² + 7x
Jawaban Benar
A. 4x³ – 6x + 7
Pembahasan Lengkap
Turunkan hasil integral:
d/dx (x⁴) = 4x³
d/dx (-3x²) = -6x
d/dx (7x) = 7
Jadi:
f(x) = 4x³ – 6x + 7.
Kompetensi yang Diukur
Memahami hubungan integral dengan turunan.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan fungsi awal berdasarkan hasil integral.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 28
Pertanyaan
Tentukan nilai:
∫ dari 1 sampai 2 (6x² – 4x) dx
Pilihan Jawaban
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10
Jawaban Benar
C. 8
Pembahasan Lengkap
Antiturunannya:
∫ (6x² – 4x) dx = 2x³ – 2x²
Substitusikan batas atas 2 dan batas bawah 1:
(2(2³) – 2(2²)) – (2(1³) – 2(1²))
= (16 – 8) – (2 – 2)
= 8
Jadi, hasilnya adalah 8.
Kompetensi yang Diukur
Menghitung integral tentu fungsi polinomial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan nilai integral tentu dengan tepat.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 29
Pertanyaan
Hasil dari:
∫ (12x⁵ – 8x³ + 4x) dx
adalah …
Pilihan Jawaban
A. 2x⁶ – 2x⁴ + 2x² + C
B. 2x⁶ – 4x⁴ + 2x² + C
C. 12x⁶ – 8x⁴ + 4x² + C
D. 2x⁶ – 2x⁴ + 4x² + C
E. 6x⁶ – 2x⁴ + 2x² + C
Jawaban Benar
A. 2x⁶ – 2x⁴ + 2x² + C
Pembahasan Lengkap
Integralkan setiap suku:
∫ 12x⁵ dx = 2x⁶
∫ -8x³ dx = -2x⁴
∫ 4x dx = 2x²
Jadi:
∫ (12x⁵ – 8x³ + 4x) dx = 2x⁶ – 2x⁴ + 2x² + C
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan aturan integral pangkat pada fungsi polinomial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan antiturunan fungsi dengan beberapa suku berpangkat.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Soal Nomor 30
Pertanyaan
Nilai dari:
∫ dari 0 sampai 2 (x³ + 3x²) dx
adalah …
Pilihan Jawaban
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
E. 18
Jawaban Benar
B. 12
Pembahasan Lengkap
Antiturunannya:
∫ (x³ + 3x²) dx = x⁴/4 + x³
Substitusikan batas atas 2 dan batas bawah 0:
(2⁴/4 + 2³) – 0
= 16/4 + 8
= 4 + 8
= 12
Jadi, nilai integralnya adalah 12.
Kompetensi yang Diukur
Menghitung integral tentu fungsi polinomial.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik mampu menentukan nilai integral tentu menggunakan antiturunan dan batas integrasi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan.
Tingkat Kesulitan
Sedang.
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit.
Kesimpulan
Integral merupakan operasi matematika yang berkaitan dengan antiturunan. Integral tak tentu menghasilkan fungsi beserta konstanta integrasi C, sedangkan integral tentu memiliki batas bawah dan batas atas sehingga menghasilkan nilai tertentu.
Untuk menyelesaikan soal integral, langkah utama yang perlu diperhatikan adalah mengenali bentuk fungsi, menerapkan aturan integral yang sesuai, kemudian menyederhanakan hasilnya. Pada integral tentu, hasil antiturunan selanjutnya dihitung menggunakan batas atas dikurangi hasil pada batas bawah.
Dengan memahami aturan dasar tersebut, berbagai contoh soal integral dapat dikerjakan secara sistematis, baik integral tak tentu maupun integral tentu.
