Permutasi merupakan salah satu konsep penting dalam matematika yang digunakan untuk menghitung banyaknya cara menyusun atau menempatkan sejumlah objek dengan memperhatikan urutan. Contoh soal permutasi dapat ditemukan dalam berbagai persoalan, seperti menyusun angka, menentukan posisi seseorang, membuat susunan huruf, hingga memilih beberapa objek untuk ditempatkan pada posisi tertentu.
Rumus dasar permutasi adalah:
P(n, r) = n! / (n – r)!
Keterangan:
- n = jumlah seluruh objek
- r = jumlah objek yang disusun
- ! = faktorial
Sebagai contoh, jika terdapat 5 orang dan akan dipilih 3 orang untuk menempati tiga posisi berbeda, urutan orang yang menempati posisi tersebut harus diperhatikan. Oleh karena itu, persoalan tersebut dapat diselesaikan menggunakan permutasi.
Berikut contoh soal permutasi yang disusun secara bertahap, mulai dari soal dasar hingga soal yang membutuhkan penerapan rumus dalam berbagai situasi.
Soal Nomor 1
Pertanyaan
Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari 4 buku berbeda jika seluruh buku tersebut disusun berjajar pada sebuah rak?
Pilihan Jawaban
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
E. 32
Jawaban Benar
D. 24
Pembahasan Lengkap
Karena seluruh 4 buku berbeda disusun dan urutan diperhatikan, digunakan permutasi seluruh objek.
P(4,4) = 4!
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Jadi, terdapat 24 susunan berbeda.
Kompetensi yang Diukur
Memahami konsep dasar permutasi untuk menyusun seluruh objek yang berbeda.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak susunan objek berbeda dengan menggunakan faktorial.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C2 – Memahami
Tingkat Kesulitan
Mudah
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit
Soal Nomor 2
Pertanyaan
Terdapat 5 siswa yang akan duduk berjajar pada 5 kursi. Berapa banyak susunan tempat duduk yang mungkin?
Pilihan Jawaban
A. 25
B. 60
C. 100
D. 120
E. 150
Jawaban Benar
D. 120
Pembahasan Lengkap
Kelima siswa berbeda dan seluruhnya akan ditempatkan pada 5 kursi. Karena posisi setiap siswa diperhatikan, digunakan permutasi.
P(5,5) = 5!
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Jadi, banyak susunan tempat duduk yang mungkin adalah 120.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan konsep faktorial dalam menentukan banyak susunan.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menghitung jumlah susunan dari beberapa objek berbeda.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Mudah
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit
Soal Nomor 3
Pertanyaan
Dari 6 siswa akan dipilih 3 siswa untuk menempati posisi ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak susunan pengurus yang dapat dibentuk?
Pilihan Jawaban
A. 18
B. 60
C. 90
D. 120
E. 180
Jawaban Benar
D. 120
Pembahasan Lengkap
Karena posisi ketua, sekretaris, dan bendahara berbeda, urutan penempatan siswa diperhatikan. Maka digunakan rumus permutasi.
P(6,3) = 6! / (6 – 3)!
P(6,3) = 6! / 3!
P(6,3) = 6 × 5 × 4 = 120
Jadi, terdapat 120 susunan pengurus yang dapat dibentuk.
Kompetensi yang Diukur
Memahami penerapan rumus permutasi untuk memilih dan menempatkan objek pada posisi berbeda.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak susunan berdasarkan jumlah objek dan posisi yang tersedia.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Mudah
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 4
Pertanyaan
Dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dibuat bilangan tiga angka tanpa pengulangan angka. Berapa banyak bilangan yang dapat dibuat?
Pilihan Jawaban
A. 15
B. 20
C. 30
D. 60
E. 125
Jawaban Benar
D. 60
Pembahasan Lengkap
Tersedia 5 angka dan akan digunakan 3 angka dengan urutan yang diperhatikan. Oleh karena itu:
P(5,3) = 5! / (5 – 3)!
P(5,3) = 5! / 2!
P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60
Jadi, banyak bilangan tiga angka yang dapat dibuat adalah 60.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan konsep permutasi pada pembentukan bilangan.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menghitung banyak bilangan yang terbentuk tanpa pengulangan angka.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 5
Pertanyaan
Dari 7 orang akan dipilih 4 orang untuk menempati empat posisi berbeda dalam sebuah kepanitiaan. Berapa banyak susunan yang mungkin?
Pilihan Jawaban
A. 35
B. 84
C. 210
D. 420
E. 840
Jawaban Benar
D. 840
Pembahasan Lengkap
Karena empat posisi dalam kepanitiaan berbeda, urutan penempatan orang diperhatikan. Gunakan rumus permutasi:
P(7,4) = 7! / (7 – 4)!
P(7,4) = 7! / 3!
P(7,4) = 7 × 6 × 5 × 4
P(7,4) = 840
Jadi, banyak susunan yang mungkin adalah 840.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan rumus permutasi pada pemilihan dan penempatan objek.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menghitung banyak cara menempatkan beberapa orang pada posisi yang berbeda.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 6
Pertanyaan
Berapa banyak susunan berbeda dari 6 huruf berbeda jika hanya 4 huruf yang digunakan untuk membentuk susunan?
Pilihan Jawaban
A. 60
B. 120
C. 180
D. 240
E. 360
Jawaban Benar
E. 360
Pembahasan Lengkap
Terdapat 6 huruf dan akan digunakan 4 huruf dengan memperhatikan urutan. Maka:
P(6,4) = 6! / (6 – 4)!
P(6,4) = 6! / 2!
P(6,4) = 6 × 5 × 4 × 3 = 360
Jadi, banyak susunan yang dapat dibuat adalah 360.
Kompetensi yang Diukur
Menggunakan rumus permutasi untuk menentukan banyak susunan sebagian objek.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menghitung permutasi dengan nilai n dan r yang diketahui.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 7
Pertanyaan
Sebuah lomba diikuti oleh 8 peserta. Jika akan ditentukan juara pertama, kedua, dan ketiga, berapa banyak kemungkinan urutan juara yang dapat terjadi?
Pilihan Jawaban
A. 56
B. 112
C. 168
D. 336
E. 512
Jawaban Benar
D. 336
Pembahasan Lengkap
Karena juara pertama, kedua, dan ketiga merupakan posisi yang berbeda, urutan peserta diperhatikan.
P(8,3) = 8! / (8 – 3)!
P(8,3) = 8 × 7 × 6
P(8,3) = 336
Jadi, terdapat 336 kemungkinan urutan juara.
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis penggunaan permutasi dalam masalah penempatan berdasarkan peringkat.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak kemungkinan susunan juara dari sejumlah peserta.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 8
Pertanyaan
Dari 9 siswa akan dipilih 3 siswa untuk menjadi ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Berapa banyak susunan kepengurusan yang dapat dibuat?
Pilihan Jawaban
A. 84
B. 126
C. 252
D. 504
E. 729
Jawaban Benar
D. 504
Pembahasan Lengkap
Ketiga posisi memiliki tugas yang berbeda sehingga urutan penempatan siswa diperhatikan.
P(9,3) = 9! / (9 – 3)!
P(9,3) = 9 × 8 × 7
P(9,3) = 504
Jadi, banyak susunan kepengurusan yang dapat dibuat adalah 504.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan konsep permutasi pada pembentukan susunan kepengurusan.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak cara memilih dan menempatkan anggota pada posisi berbeda.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 9
Pertanyaan
Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan dibuat bilangan empat angka tanpa pengulangan. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk?
Pilihan Jawaban
A. 120
B. 180
C. 240
D. 360
E. 720
Jawaban Benar
D. 360
Pembahasan Lengkap
Tersedia 6 angka dan akan digunakan 4 angka tanpa pengulangan. Urutan angka diperhatikan, sehingga digunakan permutasi.
P(6,4) = 6! / (6 – 4)!
P(6,4) = 6 × 5 × 4 × 3
P(6,4) = 360
Jadi, banyak bilangan empat angka yang dapat dibentuk adalah 360.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan permutasi dalam pembentukan bilangan tanpa pengulangan.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menghitung banyak susunan angka dengan memperhatikan urutannya.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 10
Pertanyaan
Sebanyak 10 siswa akan dipilih untuk menempati 5 kursi yang tersusun berjajar. Jika setiap siswa hanya dapat menempati satu kursi, berapa banyak susunan yang mungkin?
Pilihan Jawaban
A. 1.000
B. 2.520
C. 3.024
D. 30.240
E. 50.400
Jawaban Benar
D. 30.240
Pembahasan Lengkap
Terdapat 10 siswa dan tersedia 5 posisi. Karena posisi kursi berbeda, urutan siswa diperhatikan.
P(10,5) = 10! / (10 – 5)!
P(10,5) = 10! / 5!
P(10,5) = 10 × 9 × 8 × 7 × 6
P(10,5) = 30.240
Jadi, banyak susunan yang mungkin adalah 30.240.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan rumus permutasi pada persoalan penempatan objek dalam beberapa posisi.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak susunan dari sejumlah objek ketika hanya sebagian objek yang digunakan.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit
Soal Nomor 11
Pertanyaan
Dari 8 orang siswa akan dipilih 3 orang untuk menempati posisi ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Banyak susunan kepengurusan yang dapat dibentuk adalah …
Pilihan Jawaban
A. 56
B. 112
C. 168
D. 336
E. 512
Jawaban Benar
D. 336
Pembahasan Lengkap
Karena ketua, wakil ketua, dan sekretaris merupakan posisi yang berbeda, urutan diperhatikan. Gunakan permutasi:
P(8,3) = 8! / (8 – 3)!
P(8,3) = 8 × 7 × 6 = 336
Jadi, banyak susunan kepengurusan adalah 336.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan konsep permutasi pada penyusunan kepengurusan.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menghitung banyak susunan dengan posisi yang berbeda.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 12
Pertanyaan
Terdapat 7 buku berbeda. Jika hanya 3 buku yang akan disusun berjajar di sebuah rak, banyak susunan yang mungkin adalah …
Pilihan Jawaban
A. 21
B. 35
C. 105
D. 210
E. 343
Jawaban Benar
D. 210
Pembahasan Lengkap
Karena hanya 3 dari 7 buku yang digunakan dan urutan penyusunannya diperhatikan, digunakan permutasi:
P(7,3) = 7! / (7 – 3)!
P(7,3) = 7 × 6 × 5 = 210
Jadi, banyak susunan yang mungkin adalah 210.
Kompetensi yang Diukur
Memahami penggunaan rumus permutasi dalam penyusunan objek.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak susunan sebagian objek dari keseluruhan objek.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 13
Pertanyaan
Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan dibuat bilangan tiga angka tanpa pengulangan. Banyak bilangan yang dapat dibentuk adalah …
Pilihan Jawaban
A. 35
B. 105
C. 210
D. 315
E. 343
Jawaban Benar
C. 210
Pembahasan Lengkap
Tersedia 7 angka dan akan digunakan 3 angka tanpa pengulangan. Urutan angka diperhatikan sehingga:
P(7,3) = 7 × 6 × 5 = 210
Jadi, banyak bilangan tiga angka yang dapat dibentuk adalah 210.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan permutasi pada pembentukan bilangan.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menghitung banyak bilangan yang terbentuk tanpa pengulangan.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 14
Pertanyaan
Sebanyak 9 peserta mengikuti sebuah lomba. Jika akan ditentukan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat, banyak kemungkinan susunan juara adalah …
Pilihan Jawaban
A. 126
B. 302
C. 504
D. 2.016
E. 3.024
Jawaban Benar
E. 3.024
Pembahasan Lengkap
Karena posisi juara pertama sampai keempat berbeda, urutan peserta diperhatikan.
P(9,4) = 9 × 8 × 7 × 6
P(9,4) = 3.024
Jadi, banyak kemungkinan susunan juara adalah 3.024.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan konsep permutasi pada persoalan peringkat.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak susunan berdasarkan posisi atau peringkat.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 15
Pertanyaan
Enam siswa akan duduk berjajar pada enam kursi. Jika dua siswa tertentu harus selalu duduk berdampingan, banyak susunan yang mungkin adalah …
Pilihan Jawaban
A. 120
B. 180
C. 240
D. 360
E. 720
Jawaban Benar
D. 240
Pembahasan Lengkap
Anggap dua siswa yang harus berdampingan sebagai satu kelompok. Dengan demikian, terdapat 5 objek yang disusun berjajar.
Banyak susunan 5 objek:
5! = 120
Dua siswa dalam kelompok tersebut dapat bertukar posisi:
2! = 2
Maka:
120 × 2 = 240
Jadi, banyak susunan yang mungkin adalah 240.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan konsep permutasi dengan syarat dua objek harus berdampingan.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menyelesaikan persoalan permutasi dengan menggunakan konsep objek gabungan.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit
Soal Nomor 16
Pertanyaan
Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari 5 huruf berbeda jika semua huruf digunakan?
Pilihan Jawaban
A. 25
B. 60
C. 100
D. 120
E. 125
Jawaban Benar
D. 120
Pembahasan Lengkap
Karena seluruh 5 huruf berbeda digunakan, banyak susunannya adalah:
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Jadi, terdapat 120 susunan berbeda.
Kompetensi yang Diukur
Memahami permutasi seluruh objek berbeda.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak susunan menggunakan konsep faktorial.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C2 – Memahami
Tingkat Kesulitan
Mudah
Estimasi Waktu Pengerjaan
1 menit
Soal Nomor 17
Pertanyaan
Dari 10 siswa akan dipilih 4 siswa untuk menempati posisi ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak susunan yang dapat dibentuk adalah …
Pilihan Jawaban
A. 720
B. 1.260
C. 2.520
D. 5.040
E. 10.000
Jawaban Benar
D. 5.040
Pembahasan Lengkap
Karena empat posisi memiliki tugas yang berbeda, urutan diperhatikan.
P(10,4) = 10 × 9 × 8 × 7
P(10,4) = 5.040
Jadi, banyak susunan kepengurusan yang dapat dibentuk adalah 5.040.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan permutasi pada pemilihan dan penempatan anggota.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menghitung banyak susunan ketika beberapa posisi berbeda harus diisi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 18
Pertanyaan
Dari 8 buku berbeda akan dipilih 5 buku untuk disusun berjajar. Banyak susunan buku yang dapat dibuat adalah …
Pilihan Jawaban
A. 336
B. 672
C. 1.680
D. 2.016
E. 4.032
Jawaban Benar
D. 6.720
Pembahasan Lengkap
Gunakan permutasi karena 5 buku dipilih dari 8 buku dan urutannya diperhatikan.
P(8,5) = 8 × 7 × 6 × 5 × 4
P(8,5) = 6.720
Jadi, banyak susunan buku adalah 6.720.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan rumus permutasi pada penyusunan buku.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menghitung banyak susunan dari sebagian objek yang tersedia.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit
Soal Nomor 19
Pertanyaan
Dari 6 orang akan dipilih 3 orang untuk mengisi tiga jabatan yang berbeda. Jika satu orang tertentu harus selalu menjadi ketua, berapa banyak susunan yang mungkin?
Pilihan Jawaban
A. 10
B. 15
C. 20
D. 30
E. 60
Jawaban Benar
D. 20
Pembahasan Lengkap
Satu orang tertentu sudah pasti menjadi ketua. Jadi, dua posisi lainnya harus diisi dari 5 orang yang tersisa.
Karena posisi wakil ketua dan sekretaris berbeda:
P(5,2) = 5 × 4 = 20
Jadi, banyak susunan yang mungkin adalah 20.
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis permutasi dengan kondisi atau batasan tertentu.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak susunan ketika salah satu posisi telah ditentukan.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 20
Pertanyaan
Enam orang akan duduk berjajar. Jika Andi harus menempati kursi paling kiri dan Budi harus menempati kursi paling kanan, berapa banyak susunan yang mungkin untuk empat orang lainnya?
Pilihan Jawaban
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
E. 120
Jawaban Benar
B. 24
Pembahasan Lengkap
Posisi paling kiri sudah ditempati Andi dan posisi paling kanan sudah ditempati Budi. Jadi, tersisa 4 orang yang akan mengisi 4 posisi di tengah.
Banyak susunannya:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Jadi, banyak susunan yang mungkin adalah 24.
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis permutasi dengan posisi tertentu yang sudah ditetapkan.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menghitung susunan objek dengan memperhatikan batasan posisi.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 21
Pertanyaan
Dari 9 siswa akan dipilih 5 siswa untuk menempati lima posisi berbeda dalam sebuah perlombaan. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat?
Pilihan Jawaban
A. 126
B. 302
C. 1.260
D. 1.512
E. 3.024
Jawaban Benar
C. 1.512
Pembahasan Lengkap
Karena 5 posisi yang tersedia berbeda, urutan siswa harus diperhatikan. Gunakan rumus permutasi:
P(9,5) = 9 × 8 × 7 × 6 × 5
P(9,5) = 15.120
Jadi, banyak susunan yang dapat dibuat adalah 15.120.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan rumus permutasi pada persoalan penempatan objek.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak susunan dari sebagian objek dengan posisi yang berbeda.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit
Soal Nomor 22
Pertanyaan
Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari 7 orang yang duduk berjajar jika dua orang tertentu harus selalu berdampingan?
Pilihan Jawaban
A. 240
B. 360
C. 480
D. 720
E. 1.440
Jawaban Benar
D. 720
Pembahasan Lengkap
Dua orang yang harus berdampingan dianggap sebagai satu kelompok. Dengan demikian, terdapat 6 objek yang disusun berjajar.
Banyak susunan 6 objek:
6! = 720
Dua orang dalam kelompok tersebut dapat bertukar tempat:
2! = 2
Maka:
6! × 2! = 720 × 2 = 1.440
Jadi, jawaban yang benar adalah E. 1.440.
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis permutasi dengan syarat dua objek harus berdampingan.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak susunan dengan menggunakan konsep pengelompokan objek.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis
Tingkat Kesulitan
Sulit
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit
Soal Nomor 23
Pertanyaan
Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata MATA jika semua huruf digunakan?
Pilihan Jawaban
A. 6
B. 8
C. 12
D. 16
E. 24
Jawaban Benar
C. 12
Pembahasan Lengkap
Kata MATA terdiri atas 4 huruf, tetapi huruf A muncul sebanyak 2 kali. Karena terdapat huruf yang sama, rumus yang digunakan adalah:
4! / 2!
= 24 / 2
= 12
Jadi, banyak susunan berbeda yang dapat dibuat adalah 12.
Kompetensi yang Diukur
Memahami permutasi dengan beberapa objek yang identik.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menghitung banyak susunan berbeda ketika terdapat unsur yang sama.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 24
Pertanyaan
Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata KATAK jika semua huruf digunakan?
Pilihan Jawaban
A. 20
B. 24
C. 30
D. 40
E. 60
Jawaban Benar
C. 30
Pembahasan Lengkap
Kata KATAK terdiri atas 5 huruf. Huruf K muncul 2 kali dan huruf A juga muncul 2 kali.
Maka:
5! / (2! × 2!)
= 120 / (2 × 2)
= 120 / 4
= 30
Jadi, banyak susunan berbeda adalah 30.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan permutasi dengan unsur yang berulang.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menghitung banyak susunan berbeda dari objek yang memiliki unsur identik.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit
Soal Nomor 25
Pertanyaan
Enam orang akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyak susunan tempat duduk yang berbeda?
Pilihan Jawaban
A. 24
B. 60
C. 120
D. 240
E. 720
Jawaban Benar
C. 120
Pembahasan Lengkap
Untuk permutasi melingkar, salah satu orang dapat dianggap tetap sebagai acuan. Lima orang lainnya disusun mengelilinginya.
Rumus permutasi melingkar:
(n – 1)!
Untuk 6 orang:
(6 – 1)! = 5!
5! = 120
Jadi, banyak susunan tempat duduk yang berbeda adalah 120.
Kompetensi yang Diukur
Memahami konsep permutasi melingkar.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak susunan objek yang ditempatkan mengelilingi suatu titik pusat.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C3 – Menerapkan
Tingkat Kesulitan
Sedang
Estimasi Waktu Pengerjaan
2 menit
Soal Nomor 26
Pertanyaan
Tujuh orang akan duduk mengelilingi meja bundar. Jika dua orang tertentu harus selalu berdampingan, berapa banyak susunan yang mungkin?
Pilihan Jawaban
A. 120
B. 180
C. 240
D. 360
E. 720
Jawaban Benar
D. 240
Pembahasan Lengkap
Dua orang yang harus berdampingan dianggap sebagai satu kelompok. Dengan demikian, terdapat 6 unit yang disusun melingkar.
Banyak susunan 6 unit secara melingkar:
(6 – 1)! = 5! = 120
Dua orang dalam kelompok dapat bertukar posisi:
2! = 2
Maka:
120 × 2 = 240
Jadi, banyak susunan yang mungkin adalah 240.
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis permutasi melingkar dengan syarat tertentu.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menyelesaikan persoalan permutasi melingkar dengan objek yang harus berdampingan.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis
Tingkat Kesulitan
Sulit
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit
Soal Nomor 27
Pertanyaan
Dari 8 orang akan dipilih 4 orang untuk mengisi empat jabatan berbeda. Jika satu orang tertentu tidak boleh menjadi ketua, berapa banyak susunan yang mungkin?
Pilihan Jawaban
A. 1.470
B. 1.540
C. 1.610
D. 1.680
E. 1.720
Jawaban Benar
D. 1.680
Pembahasan Lengkap
Tanpa syarat, banyak susunan untuk 4 jabatan dari 8 orang adalah:
P(8,4) = 8 × 7 × 6 × 5 = 1.680
Sekarang orang tertentu tidak boleh menjadi ketua. Jika orang tersebut menjadi ketua, tiga jabatan lainnya diisi dari 7 orang:
P(7,3) = 7 × 6 × 5 = 210
Maka susunan yang memenuhi syarat:
1.680 – 210 = 1.470
Jadi, jawaban yang benar adalah A. 1.470.
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis permutasi dengan menggunakan konsep komplemen.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak susunan dengan kondisi pembatasan tertentu.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis
Tingkat Kesulitan
Sulit
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit
Soal Nomor 28
Pertanyaan
Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan dibentuk bilangan empat angka tanpa pengulangan. Berapa banyak bilangan yang lebih besar dari 3.000?
Pilihan Jawaban
A. 60
B. 72
C. 90
D. 120
E. 180
Jawaban Benar
D. 120
Pembahasan Lengkap
Agar bilangan lebih besar dari 3.000, angka pertama harus 3, 4, 5, atau 6. Jadi, tersedia 4 pilihan untuk angka pertama.
Setelah angka pertama dipilih, tiga posisi berikutnya dapat diisi dari 5 angka yang tersisa:
5 × 4 × 3 = 60
Maka:
4 × 60 = 240
Jadi, banyak bilangan yang dapat dibentuk adalah 240.
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis permutasi dalam pembentukan bilangan dengan batas nilai tertentu.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak bilangan berdasarkan syarat pada posisi angka pertama.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis
Tingkat Kesulitan
Sulit
Estimasi Waktu Pengerjaan
3 menit
Soal Nomor 29
Pertanyaan
Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari semua huruf pada kata MATEMATIKA?
Pilihan Jawaban
A. 75.600
B. 151.200
C. 302.400
D. 604.800
E. 1.209.600
Jawaban Benar
B. 151.200
Pembahasan Lengkap
Kata MATEMATIKA memiliki 10 huruf dengan pengulangan:
- A sebanyak 3
- M sebanyak 2
- T sebanyak 2
Huruf lainnya, yaitu E, I, dan K, masing-masing 1.
Rumusnya:
10! / (3! × 2! × 2!)
= 3.628.800 / (6 × 2 × 2)
= 3.628.800 / 24
= 151.200
Jadi, banyak susunan berbeda adalah 151.200.
Kompetensi yang Diukur
Menerapkan permutasi dengan beberapa unsur yang berulang.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak susunan berbeda pada kata yang memiliki beberapa huruf berulang.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis
Tingkat Kesulitan
Sulit
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit
Soal Nomor 30
Pertanyaan
Delapan orang akan duduk berjajar. Jika Andi dan Budi tidak boleh duduk berdampingan, berapa banyak susunan yang mungkin?
Pilihan Jawaban
A. 3.600
B. 3.840
C. 4.320
D. 4.560
E. 5.040
Jawaban Benar
C. 3.600
Pembahasan Lengkap
Jumlah seluruh susunan 8 orang tanpa syarat adalah:
8! = 40.320
Sekarang hitung susunan ketika Andi dan Budi berdampingan. Anggap keduanya sebagai satu kelompok sehingga terdapat 7 unit.
Banyak susunan:
7! = 5.040
Andi dan Budi dapat bertukar posisi:
2! = 2
Jadi, susunan ketika keduanya berdampingan:
5.040 × 2 = 10.080
Karena Andi dan Budi tidak boleh berdampingan:
40.320 – 10.080 = 30.240
Jadi, jawaban yang benar adalah 30.240.
Kompetensi yang Diukur
Menganalisis permutasi dengan menggunakan konsep komplemen.
Indikator Pembelajaran
Peserta didik dapat menentukan banyak susunan yang memenuhi kondisi larangan tertentu.
Level Kognitif (Taksonomi Bloom C1–C6)
C4 – Menganalisis
Tingkat Kesulitan
Sulit
Estimasi Waktu Pengerjaan
4 menit
Kesimpulan
Permutasi digunakan untuk menghitung banyak cara menyusun atau menempatkan objek ketika urutan diperhatikan. Rumus dasar permutasi adalah:
P(n, r) = n! / (n – r)!
Dalam penerapannya, permutasi dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan penyusunan buku, pembentukan bilangan, penentuan jabatan, peringkat lomba, susunan dengan objek berulang, hingga permutasi melingkar. Untuk menyelesaikan contoh soal permutasi, hal terpenting adalah menentukan apakah urutan objek berpengaruh dan apakah terdapat syarat khusus dalam penyusunannya.
Dengan memahami konsep faktorial, permutasi sebagian objek, permutasi dengan unsur berulang, permutasi melingkar, serta permutasi dengan batasan tertentu, berbagai persoalan penyusunan dapat diselesaikan secara sistematis dan tepat.
